Омега (постоянная)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению

.

Это значение , где W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение :

(последовательность A030178 в OEIS)
(последовательность A030797 в OEIS)

Представление в виде неподвижной точки отображения

[править | править код]

Определяющее соотношение можно выразить, например, как

или

или

Вычисление

[править | править код]

Можно вычислить итеративно, начав с первоначального предположения и рассмотрев последовательность

Эта последовательность сходится к , когда n стремится к бесконечности. Это потому, что является притягивающей неподвижной точкой функции . Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

,

потому что функция

,

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея, можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

.

Интегральные представления

[править | править код]

Тождество Виктора Адамчика:

.

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо[1][2]:

,
.

Трансцендентность

[править | править код]

Константа трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что алгебраическое. По теореме трансцендентно, но ; противоречие. Следовательно, должно быть трансцендентным числом.

Примечания

[править | править код]
  1. István, Mező An integral representation for the principal branch of Lambert the W function. Дата обращения: 7 ноября 2017. Архивировано из оригинала 28 декабря 2016 года.
  2. Mező, István (2020). "An integral representation for the Lambert W function". arXiv:2012.02480..